어느 한 수에 일정한 수를 더하여 나열한다. 등차수열(일반항 공식)

안녕하세요!!

오늘 과외를 하고 왔습니다. 학생에게 합리화 과정을 거치게 한 후 공식을 익히도록 하였고 이해가 가니 쉽게 알아듣더라구요. 

네, 고등학교 현재 수학 1 과정에 나오는 등차수열에 대해서 개념 설명을 해보려고 합니다.

본격적으로 합리화 과정을 거쳐서 개념 설명을 해보도록 하겠습니다. 

 

수학은 낯선 단어들이 많습니다. 오늘 학생에게 설명하기 앞서 '등차수열이 뭔지 아니?' 라고 질문을 던졌습니다.

낯선 단어에 대한 불편함이 학생 반응을 통해 느껴졌죠.

'합리화' 과정에서 가장 중요한 단계입니다. 

출처 : 네이버 사전 (등차수열의 일반항)

 

01.  낯선 단어에 대한 뜻 찾아보기.

 

등차수열의 단어 뜻을 알아볼게요. 어학사전을 찾아보면 등차는 '그 차이가 같음', 수열은 수의 나열이라고 나와있습니다.

등차에서 등이라는 한자는 무리 등(等)으로 나와있습니다. 무리에 속하면 같은 취급을 한다 라고 합리화를 시킵니다.

한마디로,나열 되어 있는 수의 무리가 있고 그 연속된 수들의 차가 같은거구나 라고 이해를 해봅니다.

반대로 연속된 수들의 차가 일정하다면 이 차이만큼 더해지는 것도 맞겠네요?

본인만의 배경지식으로 이해 되도록 합리화를 해보는거에요. 어때요? 어렵지 않으시죠.

다음 과정으로 넘어가보겠습니다.

 

02. 해당 개념의 공식이 도출된 과정 이해해보기.

 

자, 등차수열에 관한 공식들을 보면 등차수열의 일반항, 등차수열의 합의 공식, 등차중항 공식이 있습니다.

이 세가지 공식들을 하나씩 왜 그렇게 도출됐는지 이해해보는 겁니다.

수의 나열 중의 맨 첫번쨰 숫자를 2라고 해봅시다.

이 수열의 연속된 수들의 차를 보니 3으로 동일합니다.

이 3을 공차라고 부릅니다.

이것을 토대로 수를 나열해봅시다.

2, 2+3, 2+3+3, 2+3+3+3, 2+3+3+3+3, ......

이런식으로 나열할 수 있겠습니다. 

다음 숫자로 넘어갈 때 마다 3이 계속 더해집니다.

첫번째 수는 2, 두번째 수는 2+3, 세번째 수는 2+3+3, 네번째 수는 2+3+3+3 이런식으로 나열이 되겠죠. 

첫번째 수에는 공차인 3이 없고, 두번째는 공차인 3이 한번 더해지고 세번째 수는 공차인 3이 두번 더해집니다.

규칙성을 찾았나요? 어느 번째 수는 공차가 그 번 수 만큼 더해지는 것이 아니라 하나 적게 더해집니다.

--> 세번째 수는 공차가 두번 더해진다. 

이해하셨죠?

 

03. 이해한 과정을 우리나라말로 정리해보기

 

n번째 수는 n-1만큼 공차가 더해진다. 즉, n번째 수는 첫번째 수에 n-1만큼 공차를 더한다. 따라서!!! 첫번째수에 n-1 만큼 공차를 곱한 수를 더한다 라고 할 수 있겠습니다. 

n번째 수 : an

첫번째 수 : a1

공차 : d

를 갖고 식으로 세워봅시다. 

' an =  a1 + (n-1)d '

이렇게 나오네요. 네!!! 

이것이 바로 등차수열의 일반항 공식입니다!!! 

 

여러분 위의 과정을 통한 이해를 하고 합리화가 됐다면 

이제서야 암기를 해도 좋은 것입니다!!!!

어때요? 이 방법이 바로 개념 합리화 입니다. 

 

이런 방법으로 개념을 정복해 나간다면 응용력이 필요한 문제를 만났을 때 생각할 수 있는 힘이 길러지는 것입니다. 

이해를 하고 난 암기는 기억에도 오래 남고 저절로 공식을 따로 보지 않아도 외워질거에요. 

 

다음 시간은 등차수열의 등차중항 공식을 합리화 시켜봅시다. 

다음에 만나요~